Схема Горнера

Не раз ми зустрічалися з складними та лякаючими рівняннями третіх та більших степенів. Але такими жахливими вони видаються тільки на перший погляд. Зазвичай їх можна вирішити елементарними формулами скороченого множення чи винесенням спільного множника за дужки. Але, якщо ці способи не дали результатів, не варто впадати у відчай. Всіх врятує так звана схема Горнера. Вона дає змогу звести рівняння до більш легкого, тобто понизити степінь.

Вільям Джордж Горнер опублікував її у 1819 столітті. Хоча спосіб наближеного обчислення дійсних коренів многочлена був відомий китайцям ще у XIII ст. Його іноді називають способом Руффіні-Горнера.

Як же вирішити, наприклад, таке рівняння?

x³ – x² – 21x + 45 = 0

(Воно, до речі, зведене, бо коефіцієнт біля х з найбільшою степінню дорівнює 1.)

Спочатку знайдемо один корінь, це й є єдина умови для нашої майбутньої схеми. Якщо цей корінь цілий, то він обов’язково є дільником вільного члена (в нашому випадку це 45).

Отож, дільниками 45 є: ±1; ±3; ±5; ±9; ±15; ±45.

Почнемо перевірку, підставляючи вище згадані числа, поки рівняння не стане тотожним нулю:

+1: 1 – 1 – 21 + 45 ≠ 0;
−1: −1 – 1 + 21 + 45 ≠ 0;
+3: 27 – 9 – 63 + 45 = 0;

x₁ = 3 – ось ми й знайшли перший корінь (зазвичай кількість коренів відповідає степені рівняння).

Починаємо будувати схему Горнера:

1. Відомий корінь ставимо в перший стовпчик таблиці.
   
2. У верхньому рядку розставляємо коефіцієнти рівняння (1). (Якщо рівняння неповне і в ньому не вистачає якогось члена, то замість коефіцієнта ставимо 0).
3. Цифру в другому стовпчику, що відповідає першому коефіцієнту просто зносимо вниз.
4. Множимо корінь рівняння з першого стовпчика з числом із другого і додаємо коефіцієнт із наступного.
5. Множимо корінь із першого стовпчика на число, що вийшло в попередній дії (третій стовпчик) й додаємо до цього коефіцієнт з наступного стовпчика.
6. За аналогією знаходимо число для останнього стовпчика.

(Число в останньому стовпчику повинно обов’язково рівнятися 0. Цим можна себе перевірити.)

Числа з другого рядка, крім нуля та першого кореня, є коефіцієнтами нового спрощеного рівняння.
А саме: 1; 2; −15.

Тепер, отримавши просте квадратне рівняння х² + 2х – 15 = 0, ми зможемо без складнощів знайти інші корені.

Схему Горнера можна задіяти для вирішення рівнянь будь-яких степенів, починаючи з третьої. В випадках з четвертою та більшою треба понижати степінь за допомогою схеми, поки рівняння не зведеться до квадратного.

Тепер не варто боятись великих показників рівняння. Вирішуйте їх легко, з схемою Горнера.